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Oscillateur à ressort amorti : solutions analytiques et numériques en Python

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Ce post présente deux approches pour simuler un oscillateur à ressort amorti : les solutions analytique et numérique.

Méthodes de simulation

Solution analytique

L’oscillateur harmonique amorti suit l’équation différentielle :

$$\frac{d^2x}{dt^2} + 2\zeta\omega_0\frac{dx}{dt} + \omega_0^2x = 0$$

Pour un système sous-amorti ($\zeta < 1$), la solution analytique est :

$$x(t) = e^{-\zeta\omega_0 t}\left[x_0\cos(\omega_d t) + \frac{v_0 + \zeta\omega_0 x_0}{\omega_d}\sin(\omega_d t)\right]$$

Où :

Solution numérique

L’approche numérique utilise la méthode de Runge-Kutta d’ordre 4 pour intégrer le système d’équations différentielles du premier ordre :

$$\frac{dx}{dt} = v$$

$$\frac{dv}{dt} = -\omega_0^2x - 2\zeta\omega_0v$$

Cette méthode offre une grande précision et permet la comparaison avec la solution analytique pour vérifier l’exactitude.

Dampened spring oscillator

Code source

damped_spring_oscillator.py
#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-
# SPDX-License-Identifier: CC0 1.0 Universal

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
plt.style.use("ggplot")

# Paramètres de simulation
fs = 1000  # Fréquence d'échantillonnage (Hz)
t_duration = 5  # Durée (secondes)
f_resonant = 4  # Fréquence de résonance (Hz)
x0 = 1.0  # Déplacement initial
v0 = 0.0  # Vitesse initiale

# Paramètres dérivés
omega0 = 2 * np.pi * f_resonant  # Fréquence angulaire naturelle
dt = 1.0 / fs  # Pas de temps
t = np.arange(0, t_duration, dt)  # Tableau de temps
n_samples = len(t)

# Coefficient d'amortissement (vous pouvez l'ajuster pour contrôler l'amortissement)
# zeta < 1 : sous-amorti, zeta = 1 : amortissement critique, zeta > 1 : sur-amorti
zeta = 0.03  # Amortissement léger pour un mouvement oscillatoire
gamma = 2 * zeta * omega0  # Coefficient d'amortissement

# Solution analytique pour oscillateur sous-amorti
omega_d = omega0 * np.sqrt(1 - zeta**2)  # Fréquence amortie

# Pour les conditions initiales x(0) = x0, v(0) = v0
# Solution : x(t) = e^(-ζω₀t)[x0*cos(ωd*t) + ((v0 + ζω₀x0)/ωd)*sin(ωd*t)]
x_analytical = np.exp(-zeta * omega0 * t) * (
    x0 * np.cos(omega_d * t) +
    ((v0 + zeta * omega0 * x0) / omega_d) * np.sin(omega_d * t)
)

print(f"Natural frequency: {f_resonant:.2f} Hz")
print(f"Damped frequency: {omega_d / (2 * np.pi):.2f} Hz")
print(f"Damping ratio: {zeta:.2f}")
print(f"Damping coefficient gamma: {gamma:.3f}")
print(f"Natural angular frequency ω₀: {omega0:.3f} rad/s")

# Simulation numérique utilisant la méthode de Runge-Kutta
def spring_ode(state, t):
    """
    Équation différentielle pour oscillateur harmonique amorti
    d²x/dt² + 2ζω₀(dx/dt) + ω₀²x = 0
    state = [position, vitesse]
    retourne [vitesse, accélération]
    """
    x, v = state
    # accélération = -ω₀²x - 2ζω₀v
    acceleration = -omega0**2 * x - 2 * zeta * omega0 * v
    return np.array([v, acceleration])

# Initialiser les tableaux pour la solution numérique
x_numerical = np.zeros(n_samples)
v_numerical = np.zeros(n_samples)

# Conditions initiales
x_numerical[0] = x0
v_numerical[0] = v0

# Intégration Runge-Kutta d'ordre 4
for i in range(n_samples - 1):
    state = np.array([x_numerical[i], v_numerical[i]])

    k1 = dt * spring_ode(state, t[i])
    k2 = dt * spring_ode(state + k1/2, t[i] + dt/2)
    k3 = dt * spring_ode(state + k2/2, t[i] + dt/2)
    k4 = dt * spring_ode(state + k3, t[i] + dt)

    next_state = state + (k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4) / 6
    x_numerical[i+1] = next_state[0]
    v_numerical[i+1] = next_state[1]

# Tracer les résultats
plt.figure(figsize=(12, 8))

# Graphique de position
plt.subplot(2, 1, 1)
plt.plot(t, x_analytical, 'b-', label='Analytical Solution', linewidth=2)
plt.plot(t[::10], x_numerical[::10], 'ro', markersize=2, label='Numerical Solution', alpha=0.7)
plt.xlabel('Time (s)')
plt.ylabel('Position (m)')
plt.title(f'Dampened Spring Oscillator (f₀={f_resonant}Hz, ζ={zeta}, fs={fs}Hz)')
plt.legend()
plt.grid(True, alpha=0.3)

# Vitesse analytique (dérivée de la position)
v_analytical = np.exp(-zeta * omega0 * t) * (
    (-zeta * omega0 * x0 + (v0 + zeta * omega0 * x0) * omega_d / omega_d) * np.cos(omega_d * t) +
    (-omega_d * x0 - zeta * omega0 * (v0 + zeta * omega0 * x0) / omega_d) * np.sin(omega_d * t)
)

# Graphique de vitesse
plt.subplot(2, 1, 2)
plt.plot(t, v_analytical, 'g-', label='Analytical Velocity', linewidth=2)
plt.plot(t[::10], v_numerical[::10], 'mo', markersize=2, label='Numerical Velocity', alpha=0.7)
plt.xlabel('Time (s)')
plt.ylabel('Velocity (m/s)')
plt.title('Velocity of the Spring Mass')
plt.legend()
plt.grid(True, alpha=0.3)

plt.tight_layout()
plt.show()

# Calculer l'erreur entre les solutions analytique et numérique
error = np.abs(x_analytical - x_numerical)
max_error = np.max(error)
rms_error = np.sqrt(np.mean(error**2))

print(f"\nNumerical accuracy:")
print(f"Maximum error: {max_error:.6f} m")
print(f"RMS error: {rms_error:.6f} m")
print(f"Relative RMS error: {rms_error/np.max(np.abs(x_analytical))*100:.4f}%")
plt.savefig("dampened_spring_oscillator.svg", dpi=300, bbox_inches='tight')
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