FSoE: Como as tabelas CRC são construídas?

O protocolo FSoE (Functional Safety over EtherCAT) utiliza um CRC de 16 bits para proteger suas mensagens de segurança. Implementações tipicamente dependem de duas tabelas de busca pré-computadas com 256 entradas, convencionalmente chamadas CRC16_TABLE e CRC16_TABLE2. Este post explica exatamente como essas tabelas são derivadas do polinômio do CRC — sem constantes mágicas digitadas à mão, apenas o polinômio e o algoritmo.

O polinômio

O CRC do FSoE é construído sobre o polinômio de 17 bits

$$ P(x) = x^{16} + x^{13} + x^{12} + x^{11} + x^{8} + x^{7} + x^{5} + x^{4} + x^{2} + x + 1 $$

que, empacotado como um valor hexadecimal com o termo implícito $x^{16}$, é 0x139B7. A representação de 16 bits usada dentro do registrador de deslocamento (o polinômio sem o termo $x^{16}$) é 0x39B7.

O CRC é processado MSB-first (a direção “normal” ou não-refletida): cada bit da mensagem é retirado da extremidade mais significativa do registrador de trabalho, e o polinômio é aplicado via XOR sempre que o bit deslocado para fora do topo é 1.

O que é uma entrada de uma tabela de busca de CRC

Uma tabela de busca de CRC byte a byte permite processar um byte inteiro (8 bits) com uma única consulta à tabela, em vez de 8 deslocamentos de bit individuais. Para um CRC MSB-first de largura $W = 16$, a entrada para o valor de byte $i$ é o resto da divisão polinomial

$$ \text{table}[i] = \left( i \cdot x^{W + 8k} \right) \bmod P(x) $$

onde $k$ seleciona a posição do byte dentro de um grupo multi-byte para a qual a tabela se destina:

O fator $x^{W} = x^{16}$ representa a largura de 16 bits do registrador do CRC (o resto tem 16 bits de largura).
O fator $x^{8k}$ representa o fato de o byte estar $k$ posições de byte mais à direita (menos significativo) dentro do grupo, de modo que $8k$ posições de bit adicionais de redução são necessárias.

Computacionalmente, isso é realizado carregando $i$ no byte mais significativo de um registrador de 16 bits ($\text{crc} = i \ll 8$) e então realizando $8 + 8k$ deslocamentos à esquerda, aplicando XOR com o polinômio no registrador sempre que o bit 15 (o bit prestes a sair do topo) estiver definido:

$$ \text{crc} \gets \begin{cases} (\text{crc} \ll 1) \oplus \texttt{0x39B7} & \text{if } \text{crc} \mathbin{\&} \texttt{0x8000} \\ \text{crc} \ll 1 & \text{otherwise} \end{cases} $$

Isso é exatamente a divisão longa de $i \cdot x^{8+8k}$ por $P(x)$, mantendo apenas o resto de 16 bits.

As duas tabelas do FSoE

A implementação do FSoE usa duas tabelas, correspondentes a dois valores diferentes de $k$:

`CRC16_TABLE` — a tabela byte a byte comum ($k = 0$)

$$ \text{CRC16\_TABLE}[i] = \left( i \cdot x^{16} \right) \bmod P(x) $$

Isso é calculado com 8 deslocamentos à esquerda de $i \ll 8$. É a tabela de busca padrão usada para atualizar o CRC um byte por vez:

$$ \text{crc} \gets (\text{crc} \ll 8) \oplus \text{CRC16\_TABLE}[\text{byte}] $$

`CRC16_TABLE2` — a tabela slice-by-4 ($k = 3$)

$$ \text{CRC16\_TABLE2}[i] = \left( i \cdot x^{40} \right) \bmod P(x) $$

Isso é calculado com 32 deslocamentos à esquerda de $i \ll 8$ (já que $8 + 8 \cdot 3 = 32$). É a tabela slice-by-4 para o byte menos significativo de um grupo de 4 bytes. De forma equivalente, é o resultado de aplicar a consulta comum da CRC16_TABLE quatro vezes a partir do byte $i$ — ou seja, processando o byte $i$ seguido por três bytes zero:

$$ \text{CRC16\_TABLE2}[i] = \underbrace{\text{process}(\ldots\text{process}(\text{process}(i \ll 8) \ll 8) \ll 8)}_{4 \text{ lookups}} $$

Em uma etapa de atualização slice-by-4 que consome quatro bytes de uma vez, o CRC é atualizado como:

$$ \text{crc} \gets \text{CRC16\_TABLE2}[\text{crc}_{\text{lo}} \oplus b_0] \oplus \text{CRC16\_TABLE}[\text{crc}_{\text{hi}} \oplus b_1] \oplus \ldots $$

onde $b_0$ é o byte de entrada menos significativo (aquele que precisa da maior redução extra, portanto $k=3$).

Programa gerador

O programa C a seguir gera ambas as tabelas a partir do polinômio 0x39B7 e as imprime como código-fonte C. O núcleo é uma única função, table_entry(i, shifts), que realiza a divisão longa polinomial MSB-first descrita acima. CRC16_TABLE é construída com shifts = 8 ($k=0$) e CRC16_TABLE2 com shifts = 32 ($k=3$).

GenTables.c

/*
 * GenTables.c
 * ============
 *
 * Programa gerador das tabelas de busca do CRC-16 do FSoE
 * (Functional Safety over EtherCAT).
 *
 * Este programa, quando compilado e executado, imprime código-fonte C para
 * um segundo arquivo-fonte (Tables.c) contendo duas tabelas de busca de 16
 * bits com 256 entradas. As tabelas são derivadas puramente do polinômio
 * do CRC; nenhuma constante digitada à mão aparece na saída gerada.
 *
 *
 * O CRC
 * --------
 *
 * O CRC do FSoE é um CRC de 16 bits que usa o polinômio de 17 bits
 *
 *     P(x) = x^16 + x^13 + x^12 + x^11 + x^8 + x^7 + x^5 + x^4 + x^2 + x + 1
 *
 * que, na forma hexadecimal empacotada (com o termo implícito x^16 removido),
 * é
 *
 *     0x39B7   (16 bits)
 *
 * ou, incluindo o termo x^16,
 *
 *     0x139B7  (17 bits).
 *
 * O CRC é processado MSB-first (às vezes chamado de direção "normal" ou
 * "não-refletida"): cada bit da mensagem é retirado da extremidade mais
 * significativa do registrador de trabalho e o polinômio é aplicado via
 * XOR quando o bit deslocado para fora é 1.
 *
 *
 * Como as tabelas são produzidas
 * ---------------------------
 *
 * Uma tabela de busca de CRC permite processar um byte inteiro (8 bits) com
 * uma única consulta à tabela em vez de 8 deslocamentos de bit individuais.
 * Para um CRC MSB-first, a entrada para o valor de byte `i` é o resto da
 * divisão polinomial
 *
 *     table[i] = ( i * x^(16 + 8*k) ) mod P(x)
 *
 * onde `k` seleciona a posição do byte dentro de um grupo multi-byte para a
 * qual a tabela se destina. O fator x^16 representa a largura de 16 bits do
 * registrador do CRC (o resto tem 16 bits de largura), e o fator x^(8*k)
 * representa o fato de o byte estar `k` posições de byte mais à direita
 * (menos significativo) dentro do grupo, de modo que `8*k` posições de bit
 * adicionais de redução são necessárias.
 *
 * Computacionalmente, isso é realizado carregando `i` no byte mais
 * significativo de um registrador de 16 bits (crc = i << 8) e então
 * realizando `8 + 8*k` deslocamentos à esquerda, aplicando XOR com o
 * polinômio no registrador sempre que o bit prestes a sair do topo (bit 15)
 * estiver definido:
 *
 *     for (n = 0; n < 8 + 8*k; n++)
 *         crc = (crc & 0x8000) ? ((crc << 1) ^ POLY) : (crc << 1);
 *
 * As duas tabelas produzidas aqui são:
 *
 *   CRC16_TABLE   (k = 0):  table[i] = (i * x^16) mod P    --  8 deslocamentos
 *       Esta é a tabela de busca byte a byte comum. É usada para atualizar
 *       o CRC um byte por vez:
 *           crc = (crc << 8) ^ CRC16_TABLE[byte];
 *
 *   CRC16_TABLE2  (k = 3):  table[i] = (i * x^40) mod P    -- 32 deslocamentos
 *       Esta é a tabela slice-by-4 para o byte menos significativo de um
 *       grupo de 4 bytes. De forma equivalente, é o resultado de aplicar a
 *       consulta comum da tabela quatro vezes a partir do byte `i` (ou seja,
 *       processando o byte `i` seguido por três bytes zero). É usada na
 *       etapa de atualização slice-by-4 que consome quatro bytes de uma vez:
 *           crc ^= (input32 & 0xFF);                       // incorpora o
 *           crc  = CRC16_TABLE2[crc & 0xFF]                // byte menos sig.
 *                ^ CRC16_TABLE [(input32 >> 8)  & 0xFF]    // ...depois os
 *                ^ <slice k=1 table>[(input32 >> 16) & 0xFF]   // bytes
 *                ^ <slice k=2 table>[(input32 >> 24) & 0xFF]   // restantes.
 *       (Apenas CRC16_TABLE e CRC16_TABLE2 são exigidas pela implementação
 *       do FSoE; as tabelas de slice k=1 e k=2 não são geradas aqui.)
 *
 * Compilar e executar:
 *     cc -std=c99 -O2 -o GenTables GenTables.c
 *     ./GenTables > Tables.c
 */

#include <stdint.h>
#include <stdio.h>

/* 16 bits baixos do polinômio 0x139B7 (o termo x^16 é implícito). */
#define POLY 0x39B7U

/*
 * Calcula uma entrada da tabela de CRC-16 MSB-first.
 *
 *   i      : o valor do byte (0..255) usado como índice da tabela.
 *   shifts : o número de deslocamentos à esquerda a realizar = 8 + 8*k, onde
 *            k é a posição do byte dentro de um slice de 4 bytes (k=0 -> 8
 *            deslocamentos, k=3 -> 32 deslocamentos).
 *
 * O byte é colocado no octeto mais significativo de um registrador de 16
 * bits e deslocado à esquerda `shifts` vezes. Sempre que o bit do topo
 * (bit 15) estiver definido antes de um deslocamento, o polinômio é
 * aplicado via XOR em seguida, o que é exatamente a divisão longa de
 * (i * x^(8+shifts)) por P(x) mantendo apenas o resto de 16 bits.
 */
static uint16_t table_entry(uint8_t i, int shifts)
{
    uint16_t crc = (uint16_t)i << 8;
    int n;
    for (n = 0; n < shifts; ++n) {
        if (crc & 0x8000U)
            crc = (uint16_t)((crc << 1) ^ POLY);
        else
            crc = (uint16_t)(crc << 1);
    }
    return crc;
}

/*
 * Preenche uma tabela de 256 entradas calculando cada entrada
 * independentemente. `shifts` seleciona qual tabela de slice é construída
 * (8 para k=0, 32 para k=3).
 */
static void build_table(uint16_t table[256], int shifts)
{
    int i;
    for (i = 0; i < 256; ++i)
        table[i] = table_entry((uint8_t)i, shifts);
}

/* Imprime uma tabela uint16_t de 256 entradas como código C, 8 valores por linha. */
static void print_table(const char *name, const uint16_t table[256])
{
    int i;
    printf("const uint16_t %s[256] = {\n", name);
    for (i = 0; i < 256; i += 8) {
        printf("    0x%04X, 0x%04X, 0x%04X, 0x%04X, "
               "0x%04X, 0x%04X, 0x%04X, 0x%04X,\n",
               table[i],   table[i+1], table[i+2], table[i+3],
               table[i+4], table[i+5], table[i+6], table[i+7]);
    }
    printf("};\n");
}

int main(void)
{
    uint16_t table1[256]; /* k = 0: (i * x^16) mod P */
    uint16_t table2[256]; /* k = 3: (i * x^40) mod P */

    build_table(table1, 8);   /* tabela byte a byte comum              */
    build_table(table2, 32);  /* slice-by-4, byte menos significativo  */

    /*
     * Emite o segundo arquivo-fonte (Tables.c). O comentário de cabeçalho
     * escrito aqui documenta exatamente o que as tabelas são e como elas
     * se relacionam com o polinômio, de modo que Tables.c seja
     * autossuficiente.
     */
    printf("/*\n");
    printf(" * Tables.c  (auto-generated by GenTables.c -- do not edit)\n");
    printf(" * =======================================================\n");
    printf(" *\n");
    printf(" * Two 256-entry, 16-bit CRC lookup tables for the FSoE\n");
    printf(" * (Functional Safety over EtherCAT) CRC-16.\n");
    printf(" *\n");
    printf(" * Polynomial\n");
    printf(" * -----------\n");
    printf(" *   P(x) = x^16 + x^13 + x^12 + x^11 + x^8 + x^7 + x^5\n");
    printf(" *          + x^4 + x^2 + x + 1\n");
    printf(" *   packed (without the x^16 term): 0x39B7\n");
    printf(" *   packed (with the x^16 term):    0x139B7\n");
    printf(" *\n");
    printf(" * Direction: MSB-first (\"normal\", non-reflected).\n");
    printf(" *\n");
    printf(" * Table construction\n");
    printf(" * ------------------\n");
    printf(" * Each entry is the remainder of a polynomial division:\n");
    printf(" *\n");
    printf(" *   table[i] = ( i * x^(16 + 8*k) ) mod P(x)\n");
    printf(" *\n");
    printf(" * computed by loading i into the high byte of a 16-bit\n");
    printf(" * register (crc = i << 8) and performing 8 + 8*k left\n");
    printf(" * shifts, XORing the polynomial in whenever bit 15 is set\n");
    printf(" * before a shift:\n");
    printf(" *\n");
    printf(" *   for (n = 0; n < 8 + 8*k; n++)\n");
    printf(" *       crc = (crc & 0x8000) ? ((crc << 1) ^ 0x39B7)\n");
    printf(" *                             :  (crc << 1);\n");
    printf(" *\n");
    printf(" * Tables in this file\n");
    printf(" * -------------------\n");
    printf(" * CRC16_TABLE   (k = 0,  8 shifts):\n");
    printf(" *   table[i] = (i * x^16) mod P.\n");
    printf(" *   Ordinary byte-wise lookup table.  Used to update the\n");
    printf(" *   CRC one byte at a time:\n");
    printf(" *       crc = (crc << 8) ^ CRC16_TABLE[byte];\n");
    printf(" *\n");
    printf(" * CRC16_TABLE2  (k = 3, 32 shifts):\n");
    printf(" *   table[i] = (i * x^40) mod P.\n");
    printf(" *   Slice-by-4 table for the least-significant byte of a\n");
    printf(" *   4-byte group; equivalently the result of applying the\n");
    printf(" *   ordinary table lookup four times starting from byte i\n");
    printf(" *   (byte i followed by three zero bytes).\n");
    printf(" */\n");
    printf("\n");
    printf("#include <stdint.h>\n");
    printf("\n");

    print_table("CRC16_TABLE",  table1);
    printf("\n");
    print_table("CRC16_TABLE2", table2);

    return 0;
}

/*
 * GenTables.c
 * ============
 *
 * Programa gerador das tabelas de busca do CRC-16 do FSoE
 * (Functional Safety over EtherCAT).
 *
 * Este programa, quando compilado e executado, imprime código-fonte C para
 * um segundo arquivo-fonte (Tables.c) contendo duas tabelas de busca de 16
 * bits com 256 entradas. As tabelas são derivadas puramente do polinômio
 * do CRC; nenhuma constante digitada à mão aparece na saída gerada.
 *
 *
 * O CRC
 * --------
 *
 * O CRC do FSoE é um CRC de 16 bits que usa o polinômio de 17 bits
 *
 *     P(x) = x^16 + x^13 + x^12 + x^11 + x^8 + x^7 + x^5 + x^4 + x^2 + x + 1
 *
 * que, na forma hexadecimal empacotada (com o termo implícito x^16 removido),
 * é
 *
 *     0x39B7   (16 bits)
 *
 * ou, incluindo o termo x^16,
 *
 *     0x139B7  (17 bits).
 *
 * O CRC é processado MSB-first (às vezes chamado de direção "normal" ou
 * "não-refletida"): cada bit da mensagem é retirado da extremidade mais
 * significativa do registrador de trabalho e o polinômio é aplicado via
 * XOR quando o bit deslocado para fora é 1.
 *
 *
 * Como as tabelas são produzidas
 * ---------------------------
 *
 * Uma tabela de busca de CRC permite processar um byte inteiro (8 bits) com
 * uma única consulta à tabela em vez de 8 deslocamentos de bit individuais.
 * Para um CRC MSB-first, a entrada para o valor de byte `i` é o resto da
 * divisão polinomial
 *
 *     table[i] = ( i * x^(16 + 8*k) ) mod P(x)
 *
 * onde `k` seleciona a posição do byte dentro de um grupo multi-byte para a
 * qual a tabela se destina. O fator x^16 representa a largura de 16 bits do
 * registrador do CRC (o resto tem 16 bits de largura), e o fator x^(8*k)
 * representa o fato de o byte estar `k` posições de byte mais à direita
 * (menos significativo) dentro do grupo, de modo que `8*k` posições de bit
 * adicionais de redução são necessárias.
 *
 * Computacionalmente, isso é realizado carregando `i` no byte mais
 * significativo de um registrador de 16 bits (crc = i << 8) e então
 * realizando `8 + 8*k` deslocamentos à esquerda, aplicando XOR com o
 * polinômio no registrador sempre que o bit prestes a sair do topo (bit 15)
 * estiver definido:
 *
 *     for (n = 0; n < 8 + 8*k; n++)
 *         crc = (crc & 0x8000) ? ((crc << 1) ^ POLY) : (crc << 1);
 *
 * As duas tabelas produzidas aqui são:
 *
 *   CRC16_TABLE   (k = 0):  table[i] = (i * x^16) mod P    --  8 deslocamentos
 *       Esta é a tabela de busca byte a byte comum. É usada para atualizar
 *       o CRC um byte por vez:
 *           crc = (crc << 8) ^ CRC16_TABLE[byte];
 *
 *   CRC16_TABLE2  (k = 3):  table[i] = (i * x^40) mod P    -- 32 deslocamentos
 *       Esta é a tabela slice-by-4 para o byte menos significativo de um
 *       grupo de 4 bytes. De forma equivalente, é o resultado de aplicar a
 *       consulta comum da tabela quatro vezes a partir do byte `i` (ou seja,
 *       processando o byte `i` seguido por três bytes zero). É usada na
 *       etapa de atualização slice-by-4 que consome quatro bytes de uma vez:
 *           crc ^= (input32 & 0xFF);                       // incorpora o
 *           crc  = CRC16_TABLE2[crc & 0xFF]                // byte menos sig.
 *                ^ CRC16_TABLE [(input32 >> 8)  & 0xFF]    // ...depois os
 *                ^ <slice k=1 table>[(input32 >> 16) & 0xFF]   // bytes
 *                ^ <slice k=2 table>[(input32 >> 24) & 0xFF]   // restantes.
 *       (Apenas CRC16_TABLE e CRC16_TABLE2 são exigidas pela implementação
 *       do FSoE; as tabelas de slice k=1 e k=2 não são geradas aqui.)
 *
 * Compilar e executar:
 *     cc -std=c99 -O2 -o GenTables GenTables.c
 *     ./GenTables > Tables.c
 */

#include <stdint.h>
#include <stdio.h>

/* 16 bits baixos do polinômio 0x139B7 (o termo x^16 é implícito). */
#define POLY 0x39B7U

/*
 * Calcula uma entrada da tabela de CRC-16 MSB-first.
 *
 *   i      : o valor do byte (0..255) usado como índice da tabela.
 *   shifts : o número de deslocamentos à esquerda a realizar = 8 + 8*k, onde
 *            k é a posição do byte dentro de um slice de 4 bytes (k=0 -> 8
 *            deslocamentos, k=3 -> 32 deslocamentos).
 *
 * O byte é colocado no octeto mais significativo de um registrador de 16
 * bits e deslocado à esquerda `shifts` vezes. Sempre que o bit do topo
 * (bit 15) estiver definido antes de um deslocamento, o polinômio é
 * aplicado via XOR em seguida, o que é exatamente a divisão longa de
 * (i * x^(8+shifts)) por P(x) mantendo apenas o resto de 16 bits.
 */
static uint16_t table_entry(uint8_t i, int shifts)
{
    uint16_t crc = (uint16_t)i << 8;
    int n;
    for (n = 0; n < shifts; ++n) {
        if (crc & 0x8000U)
            crc = (uint16_t)((crc << 1) ^ POLY);
        else
            crc = (uint16_t)(crc << 1);
    }
    return crc;
}

/*
 * Preenche uma tabela de 256 entradas calculando cada entrada
 * independentemente. `shifts` seleciona qual tabela de slice é construída
 * (8 para k=0, 32 para k=3).
 */
static void build_table(uint16_t table[256], int shifts)
{
    int i;
    for (i = 0; i < 256; ++i)
        table[i] = table_entry((uint8_t)i, shifts);
}

/* Imprime uma tabela uint16_t de 256 entradas como código C, 8 valores por linha. */
static void print_table(const char *name, const uint16_t table[256])
{
    int i;
    printf("const uint16_t %s[256] = {\n", name);
    for (i = 0; i < 256; i += 8) {
        printf("    0x%04X, 0x%04X, 0x%04X, 0x%04X, "
               "0x%04X, 0x%04X, 0x%04X, 0x%04X,\n",
               table[i],   table[i+1], table[i+2], table[i+3],
               table[i+4], table[i+5], table[i+6], table[i+7]);
    }
    printf("};\n");
}

int main(void)
{
    uint16_t table1[256]; /* k = 0: (i * x^16) mod P */
    uint16_t table2[256]; /* k = 3: (i * x^40) mod P */

    build_table(table1, 8);   /* tabela byte a byte comum              */
    build_table(table2, 32);  /* slice-by-4, byte menos significativo  */

    /*
     * Emite o segundo arquivo-fonte (Tables.c). O comentário de cabeçalho
     * escrito aqui documenta exatamente o que as tabelas são e como elas
     * se relacionam com o polinômio, de modo que Tables.c seja
     * autossuficiente.
     */
    printf("/*\n");
    printf(" * Tables.c  (auto-generated by GenTables.c -- do not edit)\n");
    printf(" * =======================================================\n");
    printf(" *\n");
    printf(" * Two 256-entry, 16-bit CRC lookup tables for the FSoE\n");
    printf(" * (Functional Safety over EtherCAT) CRC-16.\n");
    printf(" *\n");
    printf(" * Polynomial\n");
    printf(" * -----------\n");
    printf(" *   P(x) = x^16 + x^13 + x^12 + x^11 + x^8 + x^7 + x^5\n");
    printf(" *          + x^4 + x^2 + x + 1\n");
    printf(" *   packed (without the x^16 term): 0x39B7\n");
    printf(" *   packed (with the x^16 term):    0x139B7\n");
    printf(" *\n");
    printf(" * Direction: MSB-first (\"normal\", non-reflected).\n");
    printf(" *\n");
    printf(" * Table construction\n");
    printf(" * ------------------\n");
    printf(" * Each entry is the remainder of a polynomial division:\n");
    printf(" *\n");
    printf(" *   table[i] = ( i * x^(16 + 8*k) ) mod P(x)\n");
    printf(" *\n");
    printf(" * computed by loading i into the high byte of a 16-bit\n");
    printf(" * register (crc = i << 8) and performing 8 + 8*k left\n");
    printf(" * shifts, XORing the polynomial in whenever bit 15 is set\n");
    printf(" * before a shift:\n");
    printf(" *\n");
    printf(" *   for (n = 0; n < 8 + 8*k; n++)\n");
    printf(" *       crc = (crc & 0x8000) ? ((crc << 1) ^ 0x39B7)\n");
    printf(" *                             :  (crc << 1);\n");
    printf(" *\n");
    printf(" * Tables in this file\n");
    printf(" * -------------------\n");
    printf(" * CRC16_TABLE   (k = 0,  8 shifts):\n");
    printf(" *   table[i] = (i * x^16) mod P.\n");
    printf(" *   Ordinary byte-wise lookup table.  Used to update the\n");
    printf(" *   CRC one byte at a time:\n");
    printf(" *       crc = (crc << 8) ^ CRC16_TABLE[byte];\n");
    printf(" *\n");
    printf(" * CRC16_TABLE2  (k = 3, 32 shifts):\n");
    printf(" *   table[i] = (i * x^40) mod P.\n");
    printf(" *   Slice-by-4 table for the least-significant byte of a\n");
    printf(" *   4-byte group; equivalently the result of applying the\n");
    printf(" *   ordinary table lookup four times starting from byte i\n");
    printf(" *   (byte i followed by three zero bytes).\n");
    printf(" */\n");
    printf("\n");
    printf("#include <stdint.h>\n");
    printf("\n");

    print_table("CRC16_TABLE",  table1);
    printf("\n");
    print_table("CRC16_TABLE2", table2);

    return 0;
}

Compilar e executar:

Build commands

cc -std=c99 -O2 -o GenTables GenTables.c
./GenTables > Tables.c

cc -std=c99 -O2 -o GenTables GenTables.c
./GenTables > Tables.c

Tabelas geradas

A saída do gerador é o seguinte arquivo-fonte C autossuficiente. Ambas as tabelas correspondem exatamente às tabelas de referência do FSoE — cada uma das 256 entradas por tabela.

Tables.c

/*
 * Tables.c  (auto-gerado por GenTables.c -- não editar)
 * =======================================================
 *
 * Duas tabelas de busca de CRC de 16 bits com 256 entradas para o
 * CRC-16 do FSoE (Functional Safety over EtherCAT).
 *
 * Polinômio
 * -----------
 *   P(x) = x^16 + x^13 + x^12 + x^11 + x^8 + x^7 + x^5
 *          + x^4 + x^2 + x + 1
 *   empacotado (sem o termo x^16): 0x39B7
 *   empacotado (com o termo x^16):    0x139B7
 *
 * Direção: MSB-first ("normal", não-refletida).
 *
 * Construção da tabela
 * ------------------
 * Cada entrada é o resto de uma divisão polinomial:
 *
 *   table[i] = ( i * x^(16 + 8*k) ) mod P(x)
 *
 * calculada carregando i no byte mais significativo de um registrador de
 * 16 bits (crc = i << 8) e realizando 8 + 8*k deslocamentos à esquerda,
 * aplicando XOR com o polinômio sempre que o bit 15 estiver definido
 * antes de um deslocamento:
 *
 *   for (n = 0; n < 8 + 8*k; n++)
 *       crc = (crc & 0x8000) ? ((crc << 1) ^ 0x39B7)
 *                             :  (crc << 1);
 *
 * Tabelas neste arquivo
 * -------------------
 * CRC16_TABLE   (k = 0,  8 deslocamentos):
 *   table[i] = (i * x^16) mod P.
 *   Tabela de busca byte a byte comum. Usada para atualizar o
 *   CRC um byte por vez:
 *       crc = (crc << 8) ^ CRC16_TABLE[byte];
 *
 * CRC16_TABLE2  (k = 3, 32 deslocamentos):
 *   table[i] = (i * x^40) mod P.
 *   Tabela slice-by-4 para o byte menos significativo de um
 *   grupo de 4 bytes; de forma equivalente, o resultado de aplicar a
 *   consulta comum da tabela quatro vezes a partir do byte i
 *   (byte i seguido por três bytes zero).
 */

#include <stdint.h>

const uint16_t CRC16_TABLE[256] = {
    0x0000, 0x39B7, 0x736E, 0x4AD9, 0xE6DC, 0xDF6B, 0x95B2, 0xAC05,
    0xF40F, 0xCDB8, 0x8761, 0xBED6, 0x12D3, 0x2B64, 0x61BD, 0x580A,
    0xD1A9, 0xE81E, 0xA2C7, 0x9B70, 0x3775, 0x0EC2, 0x441B, 0x7DAC,
    0x25A6, 0x1C11, 0x56C8, 0x6F7F, 0xC37A, 0xFACD, 0xB014, 0x89A3,
    0x9AE5, 0xA352, 0xE98B, 0xD03C, 0x7C39, 0x458E, 0x0F57, 0x36E0,
    0x6EEA, 0x575D, 0x1D84, 0x2433, 0x8836, 0xB181, 0xFB58, 0xC2EF,
    0x4B4C, 0x72FB, 0x3822, 0x0195, 0xAD90, 0x9427, 0xDEFE, 0xE749,
    0xBF43, 0x86F4, 0xCC2D, 0xF59A, 0x599F, 0x6028, 0x2AF1, 0x1346,
    0x0C7D, 0x35CA, 0x7F13, 0x46A4, 0xEAA1, 0xD316, 0x99CF, 0xA078,
    0xF872, 0xC1C5, 0x8B1C, 0xB2AB, 0x1EAE, 0x2719, 0x6DC0, 0x5477,
    0xDDD4, 0xE463, 0xAEBA, 0x970D, 0x3B08, 0x02BF, 0x4866, 0x71D1,
    0x29DB, 0x106C, 0x5AB5, 0x6302, 0xCF07, 0xF6B0, 0xBC69, 0x85DE,
    0x9698, 0xAF2F, 0xE5F6, 0xDC41, 0x7044, 0x49F3, 0x032A, 0x3A9D,
    0x6297, 0x5B20, 0x11F9, 0x284E, 0x844B, 0xBDFC, 0xF725, 0xCE92,
    0x4731, 0x7E86, 0x345F, 0x0DE8, 0xA1ED, 0x985A, 0xD283, 0xEB34,
    0xB33E, 0x8A89, 0xC050, 0xF9E7, 0x55E2, 0x6C55, 0x268C, 0x1F3B,
    0x18FA, 0x214D, 0x6B94, 0x5223, 0xFE26, 0xC791, 0x8D48, 0xB4FF,
    0xECF5, 0xD542, 0x9F9B, 0xA62C, 0x0A29, 0x339E, 0x7947, 0x40F0,
    0xC953, 0xF0E4, 0xBA3D, 0x838A, 0x2F8F, 0x1638, 0x5CE1, 0x6556,
    0x3D5C, 0x04EB, 0x4E32, 0x7785, 0xDB80, 0xE237, 0xA8EE, 0x9159,
    0x821F, 0xBBA8, 0xF171, 0xC8C6, 0x64C3, 0x5D74, 0x17AD, 0x2E1A,
    0x7610, 0x4FA7, 0x057E, 0x3CC9, 0x90CC, 0xA97B, 0xE3A2, 0xDA15,
    0x53B6, 0x6A01, 0x20D8, 0x196F, 0xB56A, 0x8CDD, 0xC604, 0xFFB3,
    0xA7B9, 0x9E0E, 0xD4D7, 0xED60, 0x4165, 0x78D2, 0x320B, 0x0BBC,
    0x1487, 0x2D30, 0x67E9, 0x5E5E, 0xF25B, 0xCBEC, 0x8135, 0xB882,
    0xE088, 0xD93F, 0x93E6, 0xAA51, 0x0654, 0x3FE3, 0x753A, 0x4C8D,
    0xC52E, 0xFC99, 0xB640, 0x8FF7, 0x23F2, 0x1A45, 0x509C, 0x692B,
    0x3121, 0x0896, 0x424F, 0x7BF8, 0xD7FD, 0xEE4A, 0xA493, 0x9D24,
    0x8E62, 0xB7D5, 0xFD0C, 0xC4BB, 0x68BE, 0x5109, 0x1BD0, 0x2267,
    0x7A6D, 0x43DA, 0x0903, 0x30B4, 0x9CB1, 0xA506, 0xEFDF, 0xD668,
    0x5FCB, 0x667C, 0x2CA5, 0x1512, 0xB917, 0x80A0, 0xCA79, 0xF3CE,
    0xABC4, 0x9273, 0xD8AA, 0xE11D, 0x4D18, 0x74AF, 0x3E76, 0x07C1,
};

const uint16_t CRC16_TABLE2[256] = {
    0x0000, 0x7648, 0xEC90, 0x9AD8, 0xE097, 0x96DF, 0x0C07, 0x7A4F,
    0xF899, 0x8ED1, 0x1409, 0x6241, 0x180E, 0x6E46, 0xF49E, 0x82D6,
    0xC885, 0xBECD, 0x2415, 0x525D, 0x2812, 0x5E5A, 0xC482, 0xB2CA,
    0x301C, 0x4654, 0xDC8C, 0xAAC4, 0xD08B, 0xA6C3, 0x3C1B, 0x4A53,
    0xA8BD, 0xDEF5, 0x442D, 0x3265, 0x482A, 0x3E62, 0xA4BA, 0xD2F2,
    0x5024, 0x266C, 0xBCB4, 0xCAFC, 0xB0B3, 0xC6FB, 0x5C23, 0x2A6B,
    0x6038, 0x1670, 0x8CA8, 0xFAE0, 0x80AF, 0xF6E7, 0x6C3F, 0x1A77,
    0x98A1, 0xEEE9, 0x7431, 0x0279, 0x7836, 0x0E7E, 0x94A6, 0xE2EE,
    0x68CD, 0x1E85, 0x845D, 0xF215, 0x885A, 0xFE12, 0x64CA, 0x1282,
    0x9054, 0xE61C, 0x7CC4, 0x0A8C, 0x70C3, 0x068B, 0x9C53, 0xEA1B,
    0xA048, 0xD600, 0x4CD8, 0x3A90, 0x40DF, 0x3697, 0xAC4F, 0xDA07,
    0x58D1, 0x2E99, 0xB441, 0xC209, 0xB846, 0xCE0E, 0x54D6, 0x229E,
    0xC070, 0xB638, 0x2CE0, 0x5AA8, 0x20E7, 0x56AF, 0xCC77, 0xBA3F,
    0x38E9, 0x4EA1, 0xD479, 0xA231, 0xD87E, 0xAE36, 0x34EE, 0x42A6,
    0x08F5, 0x7EBD, 0xE465, 0x922D, 0xE862, 0x9E2A, 0x04F2, 0x72BA,
    0xF06C, 0x8624, 0x1CFC, 0x6AB4, 0x10FB, 0x66B3, 0xFC6B, 0x8A23,
    0xD19A, 0xA7D2, 0x3D0A, 0x4B42, 0x310D, 0x4745, 0xDD9D, 0xABD5,
    0x2903, 0x5F4B, 0xC593, 0xB3DB, 0xC994, 0xBFDC, 0x2504, 0x534C,
    0x191F, 0x6F57, 0xF58F, 0x83C7, 0xF988, 0x8FC0, 0x1518, 0x6350,
    0xE186, 0x97CE, 0x0D16, 0x7B5E, 0x0111, 0x7759, 0xED81, 0x9BC9,
    0x7927, 0x0F6F, 0x95B7, 0xE3FF, 0x99B0, 0xEFF8, 0x7520, 0x0368,
    0x81BE, 0xF7F6, 0x6D2E, 0x1B66, 0x6129, 0x1761, 0x8DB9, 0xFBF1,
    0xB1A2, 0xC7EA, 0x5D32, 0x2B7A, 0x5135, 0x277D, 0xBDA5, 0xCBED,
    0x493B, 0x3F73, 0xA5AB, 0xD3E3, 0xA9AC, 0xDFE4, 0x453C, 0x3374,
    0xB957, 0xCF1F, 0x55C7, 0x238F, 0x59C0, 0x2F88, 0xB550, 0xC318,
    0x41CE, 0x3786, 0xAD5E, 0xDB16, 0xA159, 0xD711, 0x4DC9, 0x3B81,
    0x71D2, 0x079A, 0x9D42, 0xEB0A, 0x9145, 0xE70D, 0x7DD5, 0x0B9D,
    0x894B, 0xFF03, 0x65DB, 0x1393, 0x69DC, 0x1F94, 0x854C, 0xF304,
    0x11EA, 0x67A2, 0xFD7A, 0x8B32, 0xF17D, 0x8735, 0x1DED, 0x6BA5,
    0xE973, 0x9F3B, 0x05E3, 0x73AB, 0x09E4, 0x7FAC, 0xE574, 0x933C,
    0xD96F, 0xAF27, 0x35FF, 0x43B7, 0x39F8, 0x4FB0, 0xD568, 0xA320,
    0x21F6, 0x57BE, 0xCD66, 0xBB2E, 0xC161, 0xB729, 0x2DF1, 0x5BB9,
};

/*
 * Tables.c  (auto-gerado por GenTables.c -- não editar)
 * =======================================================
 *
 * Duas tabelas de busca de CRC de 16 bits com 256 entradas para o
 * CRC-16 do FSoE (Functional Safety over EtherCAT).
 *
 * Polinômio
 * -----------
 *   P(x) = x^16 + x^13 + x^12 + x^11 + x^8 + x^7 + x^5
 *          + x^4 + x^2 + x + 1
 *   empacotado (sem o termo x^16): 0x39B7
 *   empacotado (com o termo x^16):    0x139B7
 *
 * Direção: MSB-first ("normal", não-refletida).
 *
 * Construção da tabela
 * ------------------
 * Cada entrada é o resto de uma divisão polinomial:
 *
 *   table[i] = ( i * x^(16 + 8*k) ) mod P(x)
 *
 * calculada carregando i no byte mais significativo de um registrador de
 * 16 bits (crc = i << 8) e realizando 8 + 8*k deslocamentos à esquerda,
 * aplicando XOR com o polinômio sempre que o bit 15 estiver definido
 * antes de um deslocamento:
 *
 *   for (n = 0; n < 8 + 8*k; n++)
 *       crc = (crc & 0x8000) ? ((crc << 1) ^ 0x39B7)
 *                             :  (crc << 1);
 *
 * Tabelas neste arquivo
 * -------------------
 * CRC16_TABLE   (k = 0,  8 deslocamentos):
 *   table[i] = (i * x^16) mod P.
 *   Tabela de busca byte a byte comum. Usada para atualizar o
 *   CRC um byte por vez:
 *       crc = (crc << 8) ^ CRC16_TABLE[byte];
 *
 * CRC16_TABLE2  (k = 3, 32 deslocamentos):
 *   table[i] = (i * x^40) mod P.
 *   Tabela slice-by-4 para o byte menos significativo de um
 *   grupo de 4 bytes; de forma equivalente, o resultado de aplicar a
 *   consulta comum da tabela quatro vezes a partir do byte i
 *   (byte i seguido por três bytes zero).
 */

#include <stdint.h>

const uint16_t CRC16_TABLE[256] = {
    0x0000, 0x39B7, 0x736E, 0x4AD9, 0xE6DC, 0xDF6B, 0x95B2, 0xAC05,
    0xF40F, 0xCDB8, 0x8761, 0xBED6, 0x12D3, 0x2B64, 0x61BD, 0x580A,
    0xD1A9, 0xE81E, 0xA2C7, 0x9B70, 0x3775, 0x0EC2, 0x441B, 0x7DAC,
    0x25A6, 0x1C11, 0x56C8, 0x6F7F, 0xC37A, 0xFACD, 0xB014, 0x89A3,
    0x9AE5, 0xA352, 0xE98B, 0xD03C, 0x7C39, 0x458E, 0x0F57, 0x36E0,
    0x6EEA, 0x575D, 0x1D84, 0x2433, 0x8836, 0xB181, 0xFB58, 0xC2EF,
    0x4B4C, 0x72FB, 0x3822, 0x0195, 0xAD90, 0x9427, 0xDEFE, 0xE749,
    0xBF43, 0x86F4, 0xCC2D, 0xF59A, 0x599F, 0x6028, 0x2AF1, 0x1346,
    0x0C7D, 0x35CA, 0x7F13, 0x46A4, 0xEAA1, 0xD316, 0x99CF, 0xA078,
    0xF872, 0xC1C5, 0x8B1C, 0xB2AB, 0x1EAE, 0x2719, 0x6DC0, 0x5477,
    0xDDD4, 0xE463, 0xAEBA, 0x970D, 0x3B08, 0x02BF, 0x4866, 0x71D1,
    0x29DB, 0x106C, 0x5AB5, 0x6302, 0xCF07, 0xF6B0, 0xBC69, 0x85DE,
    0x9698, 0xAF2F, 0xE5F6, 0xDC41, 0x7044, 0x49F3, 0x032A, 0x3A9D,
    0x6297, 0x5B20, 0x11F9, 0x284E, 0x844B, 0xBDFC, 0xF725, 0xCE92,
    0x4731, 0x7E86, 0x345F, 0x0DE8, 0xA1ED, 0x985A, 0xD283, 0xEB34,
    0xB33E, 0x8A89, 0xC050, 0xF9E7, 0x55E2, 0x6C55, 0x268C, 0x1F3B,
    0x18FA, 0x214D, 0x6B94, 0x5223, 0xFE26, 0xC791, 0x8D48, 0xB4FF,
    0xECF5, 0xD542, 0x9F9B, 0xA62C, 0x0A29, 0x339E, 0x7947, 0x40F0,
    0xC953, 0xF0E4, 0xBA3D, 0x838A, 0x2F8F, 0x1638, 0x5CE1, 0x6556,
    0x3D5C, 0x04EB, 0x4E32, 0x7785, 0xDB80, 0xE237, 0xA8EE, 0x9159,
    0x821F, 0xBBA8, 0xF171, 0xC8C6, 0x64C3, 0x5D74, 0x17AD, 0x2E1A,
    0x7610, 0x4FA7, 0x057E, 0x3CC9, 0x90CC, 0xA97B, 0xE3A2, 0xDA15,
    0x53B6, 0x6A01, 0x20D8, 0x196F, 0xB56A, 0x8CDD, 0xC604, 0xFFB3,
    0xA7B9, 0x9E0E, 0xD4D7, 0xED60, 0x4165, 0x78D2, 0x320B, 0x0BBC,
    0x1487, 0x2D30, 0x67E9, 0x5E5E, 0xF25B, 0xCBEC, 0x8135, 0xB882,
    0xE088, 0xD93F, 0x93E6, 0xAA51, 0x0654, 0x3FE3, 0x753A, 0x4C8D,
    0xC52E, 0xFC99, 0xB640, 0x8FF7, 0x23F2, 0x1A45, 0x509C, 0x692B,
    0x3121, 0x0896, 0x424F, 0x7BF8, 0xD7FD, 0xEE4A, 0xA493, 0x9D24,
    0x8E62, 0xB7D5, 0xFD0C, 0xC4BB, 0x68BE, 0x5109, 0x1BD0, 0x2267,
    0x7A6D, 0x43DA, 0x0903, 0x30B4, 0x9CB1, 0xA506, 0xEFDF, 0xD668,
    0x5FCB, 0x667C, 0x2CA5, 0x1512, 0xB917, 0x80A0, 0xCA79, 0xF3CE,
    0xABC4, 0x9273, 0xD8AA, 0xE11D, 0x4D18, 0x74AF, 0x3E76, 0x07C1,
};

const uint16_t CRC16_TABLE2[256] = {
    0x0000, 0x7648, 0xEC90, 0x9AD8, 0xE097, 0x96DF, 0x0C07, 0x7A4F,
    0xF899, 0x8ED1, 0x1409, 0x6241, 0x180E, 0x6E46, 0xF49E, 0x82D6,
    0xC885, 0xBECD, 0x2415, 0x525D, 0x2812, 0x5E5A, 0xC482, 0xB2CA,
    0x301C, 0x4654, 0xDC8C, 0xAAC4, 0xD08B, 0xA6C3, 0x3C1B, 0x4A53,
    0xA8BD, 0xDEF5, 0x442D, 0x3265, 0x482A, 0x3E62, 0xA4BA, 0xD2F2,
    0x5024, 0x266C, 0xBCB4, 0xCAFC, 0xB0B3, 0xC6FB, 0x5C23, 0x2A6B,
    0x6038, 0x1670, 0x8CA8, 0xFAE0, 0x80AF, 0xF6E7, 0x6C3F, 0x1A77,
    0x98A1, 0xEEE9, 0x7431, 0x0279, 0x7836, 0x0E7E, 0x94A6, 0xE2EE,
    0x68CD, 0x1E85, 0x845D, 0xF215, 0x885A, 0xFE12, 0x64CA, 0x1282,
    0x9054, 0xE61C, 0x7CC4, 0x0A8C, 0x70C3, 0x068B, 0x9C53, 0xEA1B,
    0xA048, 0xD600, 0x4CD8, 0x3A90, 0x40DF, 0x3697, 0xAC4F, 0xDA07,
    0x58D1, 0x2E99, 0xB441, 0xC209, 0xB846, 0xCE0E, 0x54D6, 0x229E,
    0xC070, 0xB638, 0x2CE0, 0x5AA8, 0x20E7, 0x56AF, 0xCC77, 0xBA3F,
    0x38E9, 0x4EA1, 0xD479, 0xA231, 0xD87E, 0xAE36, 0x34EE, 0x42A6,
    0x08F5, 0x7EBD, 0xE465, 0x922D, 0xE862, 0x9E2A, 0x04F2, 0x72BA,
    0xF06C, 0x8624, 0x1CFC, 0x6AB4, 0x10FB, 0x66B3, 0xFC6B, 0x8A23,
    0xD19A, 0xA7D2, 0x3D0A, 0x4B42, 0x310D, 0x4745, 0xDD9D, 0xABD5,
    0x2903, 0x5F4B, 0xC593, 0xB3DB, 0xC994, 0xBFDC, 0x2504, 0x534C,
    0x191F, 0x6F57, 0xF58F, 0x83C7, 0xF988, 0x8FC0, 0x1518, 0x6350,
    0xE186, 0x97CE, 0x0D16, 0x7B5E, 0x0111, 0x7759, 0xED81, 0x9BC9,
    0x7927, 0x0F6F, 0x95B7, 0xE3FF, 0x99B0, 0xEFF8, 0x7520, 0x0368,
    0x81BE, 0xF7F6, 0x6D2E, 0x1B66, 0x6129, 0x1761, 0x8DB9, 0xFBF1,
    0xB1A2, 0xC7EA, 0x5D32, 0x2B7A, 0x5135, 0x277D, 0xBDA5, 0xCBED,
    0x493B, 0x3F73, 0xA5AB, 0xD3E3, 0xA9AC, 0xDFE4, 0x453C, 0x3374,
    0xB957, 0xCF1F, 0x55C7, 0x238F, 0x59C0, 0x2F88, 0xB550, 0xC318,
    0x41CE, 0x3786, 0xAD5E, 0xDB16, 0xA159, 0xD711, 0x4DC9, 0x3B81,
    0x71D2, 0x079A, 0x9D42, 0xEB0A, 0x9145, 0xE70D, 0x7DD5, 0x0B9D,
    0x894B, 0xFF03, 0x65DB, 0x1393, 0x69DC, 0x1F94, 0x854C, 0xF304,
    0x11EA, 0x67A2, 0xFD7A, 0x8B32, 0xF17D, 0x8735, 0x1DED, 0x6BA5,
    0xE973, 0x9F3B, 0x05E3, 0x73AB, 0x09E4, 0x7FAC, 0xE574, 0x933C,
    0xD96F, 0xAF27, 0x35FF, 0x43B7, 0x39F8, 0x4FB0, 0xD568, 0xA320,
    0x21F6, 0x57BE, 0xCD66, 0xBB2E, 0xC161, 0xB729, 0x2DF1, 0x5BB9,
};

Resumo

As duas tabelas de CRC do FSoE são ambas tabelas de busca de CRC-16 MSB-first para o polinômio $P(x) = $ 0x139B7. Elas diferem apenas na posição do byte $k$ dentro de um slice de 4 bytes:

Tabela	$k$	Fórmula	Deslocamentos	Finalidade
`CRC16_TABLE`	0	$(i \cdot x^{16}) \bmod P$	8	Atualização de CRC byte a byte comum
`CRC16_TABLE2`	3	$(i \cdot x^{40}) \bmod P$	32	Slice-by-4, byte menos significativo

O programa gerador (GenTables.c) constrói ambas as tabelas a partir apenas do polinômio usando uma única função table_entry(i, shifts), e emite o segundo arquivo-fonte (Tables.c) contendo as tabelas com um comentário de cabeçalho autodocumentado.

FSoE: Como as tabelas CRC são construídas?

O polinômio

O que é uma entrada de uma tabela de busca de CRC

As duas tabelas do FSoE

`CRC16_TABLE` — a tabela byte a byte comum ($k = 0$)

`CRC16_TABLE2` — a tabela slice-by-4 ($k = 3$)

Programa gerador

Tabelas geradas

Resumo

Artigos relacionados

Visão geral e noções básicas

CRC

Códigos de erro e formato de dados

O polinômio

O que é uma entrada de uma tabela de busca de CRC

As duas tabelas do FSoE

CRC16_TABLE — a tabela byte a byte comum ($k = 0$)

CRC16_TABLE2 — a tabela slice-by-4 ($k = 3$)

Programa gerador

Tabelas geradas

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Códigos de erro e formato de dados

`CRC16_TABLE` — a tabela byte a byte comum ($k = 0$)

`CRC16_TABLE2` — a tabela slice-by-4 ($k = 3$)